Grundlagen der Mengenlehre

Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung $\,M\,$ von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten $\,m\,$ unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von $\,M\,$ genannt werden) zu einem ganzen.

Georg Cantor

Wozu überhaupt Mengen?

Die Mengenlehre ist die Grundlage der modernen Mathematik und die Konzepte der Mengenlehre werden in allen formalen Beschreibungen verwendet. Das Konzept der Menge gilt als “undefiniert”, “primitiv” oder “grundlegend”, daher versuchen wir nicht zu definieren, was eine Menge ist. Wir können jedoch eine informelle Beschreibung geben, wichtige Eigenschaften von Mengen angeben und Beispiele nennen. Alle anderen Konzepte der Mathematik können auf dem Konzept der Menge aufgebaut werden.

Beschreibung

Ähnliche (aber informelle) Begriffe: $\,$Sammlung, Gruppe, Bündel.

Beschreibung: $\,$Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, die als Mitglieder oder Elemente der Menge bezeichnet werden. Wenn wir eine Menge haben, sagen wir, dass einige Objekte zu dieser Menge gehören (oder nicht gehören), in der Menge sind (oder nicht sind). Wir sagen auch, dass Mengen aus ihren Elementen bestehen.

Beispiele

• die Menge der Schüler*innen in diesem Raum
• die Menge der Buchstaben der englischen Sprache
• die Menge der natürlichen Zahlen
• usw.

Mengen können also aus Elementen verschiedenster Natur bestehen: Menschen, physische Objekte, Zahlen, Zeichen, andere Mengen usw. (Wir werden die Worte Objekt oder Entität sehr weit gefasst verwenden, um all diese verschiedenen Arten von Dingen einzuschließen).

Eine Menge ist ein abstraktes Objekt; ihre Mitglieder müssen nicht physisch gesammelt werden, damit sie eine Menge bilden.

Die Zugehörigkeitskriterien einer Menge müssen im Prinzip wohldefiniert und nicht zu schwammig sein. Wenn wir eine Menge und ein Objekt haben, ist es möglich, dass wir nicht wissen, ob dieses Objekt zur Menge gehört oder nicht, weil wir nicht genügend Informationen oder Wissen haben. (z. B. “Die Menge der Schüler*innen in diesem Raum, die älter als 18 Jahre sind”: eine wohldefinierte Menge, aber wir wissen vielleicht nicht, wer dazugehört.) Aber die Antwort sollte existieren, zumindest im Prinzip. Sie könnte unbekannt sein, aber sie sollte nicht unklar bzw. schwammig sein.

Zum Beispiel: Ist der Buchstabe q derselbe wie der Buchstabe Q? Nun, das hängt davon ab, welche Menge wir betrachten. Wenn wir die Menge der 26 Buchstaben des englischen Alphabets nehmen, dann sind q und Q dasselbe Element. Wenn wir die Menge der 52 Groß- und Kleinbuchstaben des englischen Alphabets nehmen, dann sind q und Q zwei verschiedene Elemente. Beides ist möglich, aber wir müssen klarstellen, über welche Menge wir sprechen, damit wir wissen, ob q = Q ist oder nicht.

Es gibt genau eine Menge, die leere Menge oder Nullmenge, die überhaupt keine Mitglieder hat:

Beeindruckend!

Mengenangaben

Es gibt zwei wesentliche Möglichkeiten, eine Menge anzugeben:

1. durch Aufzählung aller Elemente der Menge (Aufzählende Notation);
2. durch Angabe einer Eigenschaft aller Elemente der Menge (Beschreibende Notation).

1. Aufzählende Notation

Die Aufzählende Notation ist am besten für endliche Mengen geeignet. In diesem Fall zählen wir die Elemente einer Menge auf, trennen sie durch Kommata und schließen sie in geschweifte Klammern ein.

Beispiele: $\{1, 3, 9\}$, $\{$Rot, Grün, Blau$\}$, $\{a,b,d,m\}$

Wir müssen aber nicht immer alle Elemente einer Menge nennen, wir können auch Elemente auslassen, dabei muss aber immer eindeutig sein welche Elemente ausgelassen wurden. Die Menge $\{1,2,\,…,100\}$ enthält alle natürlichen Zahlen von $1$ bis $100$. Wir haben diese Menge eindeutig angegeben ohne alle Elemente der Menge aufzuzählen.

Wir können auch nicht endliche Mengen mit den Auslassungspunkten angeben. Dabei muss aber eindeutig und nachvollziehbar sein, wie die Aufzählung weiter gehen würde.

Eindeutig Aufzählung:
Die natürlichen Zahlen: $\{1,2,3,…\}$
Die Zweierpotenzen: $\{1,2,4,8,16,32,…\}$
Die negativen ganzen Zahlen: $\{…,-3,-2,-1\}$

Nicht eindeutig Aufzählung:
$\{3,4,17,…\}$
$\{0,3,11,64,…\}$

2. Beschreibende Notation

Durch die Beschreibende Notation wird eine Menge aller Objekte definiert, die eine bestimmte Eigenschaft $A(x)$ erfüllen. Man schreibt $M = \{x\,|\,A(x)\}$ und meint damit die Menge $M$ aller Objekte $x$, die die Eigenschaft $A(x)$ erfüllen.

Anstatt eines senkrechten Striches wird oft auch ein Doppelpunkt verwendet. So kann auch $\{x\,:\,A(x)\}$ für die Menge $M$ geschrieben werden.
Die Aussprache von $\{x\,:\,A(x)\}$ lautet: „Menge aller $x$ für die $A(x)$ gilt“. Es folgen einige Beispiele:

Die Menge aller Primzahlen :

$\{x : x$ ist eine Primzahl$\}$

Die Menge aller reellen Zahlen zwischen $-3$ und $5$ :

$\{y \in \R: -3 \lt y \lt 5\}$

Die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen :

$\{z \in \N: \exists k \in \N: z = 2k-1\}$

Anders als bei der aufzählenden Notation, ist diese Mengenschreibweise auch für nicht endliche Mengen eindeutig. Deshalb sollte man für nicht endliche Mengen vor allem diese Mengenschreibweise verwenden.

Wichtige Mengen

Eine Übersicht der häufig verwendeten Mengen: